Soru:
$ F_X (x) = 2 \ lambda \ pi x e ^ {- \ lambda \ pi x ^ 2} $ ne tür bir dağıtımdır?
Mitch
2011-05-16 12:22:56 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ne tür bir işlev:

$ f_X (x) = 2 \ lambda \ pi xe ^ {- \ lambda \ pi x ^ 2} $

Bu a ortak dağıtım? $ \ Lambda $ güven aralığını $ \ hat {\ lambda} = \ frac {n} {\ pi \ sum ^ n_ {i = 1} X ^ 2_i} $ kullanarak bulmaya çalışıyorum ve mücadele ediyorum Bu tahmincinin Asimptotik Normalliği olup olmadığını kanıtlamak için.

Teşekkürler

Belki yardımcı olur: Eğer Y üstel olarak dağıtılırsa, X = Y ^ 2 f_X ile dağıtılır. Y'nin MLE'sine [buradan] (http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution) göz atabilirsiniz ...
@teucer, üzgünüm yorumunuzu görmedi, bu yüzden hemen hemen aynı cevabı gönderdim.
her zaman, daima sorunun ev ödeviyle ilgili olduğunu belirtin. Ev ödevi öğrenmeniz içindir, sadece doğru cevabı almak size yardımcı olmaz ve hatta uzun vadede canınızı yakabilir. Bunun başka bir kullanıcının sorusundan bir ev ödevi olduğunu tahmin ediyorum.
@mpiktas, bu soru bir ev ödevi sorununun küçük bir kısmıyla ilgiliydi, ancak soruyu birinin bana cevabı söyleyebileceği şekilde ifade etmedim. Kavramları anlamak ve sonra ödevimi kendim çözmek her niyetimdi.
soruya ilişkin üslubunuz örnek oldu, ev ödevi soruları bu şekilde sorulmalı. Ancak sorunun bağlamını bilmek, genellikle iyi yanıt vermede çok yardımcı olur.
@mpiktas Ancak cevabınız, $ Y $ $ \ pi \ lambda $ parametresine sahip üstel bir rasgele değişkense, $ Y $ 'ın ** karekök **' nün OP Mitch tarafından sorulan dağılımı vardır, oysa teucer'in cevabı * diyor. Y $ 'ın * kare **' sinin dağılımı sorulmuştur. Öyleyse, cevabınız pratik olarak nasıl teucer's ile aynı (ve hangisine inanmalıyız)?
@DilipSarwate mayın :). $ Y $ üstel ise, $ P (\ sqrt {Y}
@mpiktas Evet, tanımlamanızın doğru olduğunu ve öğreticinin olmadığını biliyorum (Wikipedia bağlantısı bu iddiayı desteklemese de, üç olumlu oy almış olsa da). Yoğunlukları $ \ frac {r} {\ sigma ^ 2} \ exp (-r ^ 2/2 \ sigma ^ 2) $ şeklinde _Rayleigh_ rastgele değişkenler olarak anılan rastgele değişkenleri görmeye alışkınım: mesafeyi tanımlarlar $ X $ ve $ Y $ 'ın bağımsız $ N (0, \ sigma ^ 2) $ rastgele değişkenler olduğu $ (X, Y) $ noktasının başlangıcından.
Iki yanıtlar:
#1
+10
mpiktas
2011-05-16 13:17:54 UTC
view on stackexchange narkive permalink

$ \ pi \ lambda $ oranına sahip üstel dağılımın bir kareköküdür. Bu, $ Y \ sim \ exp (\ pi \ lambda) $ ise, $ \ sqrt {Y} \ sim f_X $ anlamına gelir.

Tahmininiz maksimum olasılık tahmini olduğu için asimptotik olarak normal olmalıdır. Bu, maksimum olasılık tahminlerinin özelliklerinden hemen sonra gelir. Bu özel durumda:

$$ \ sqrt {n} (\ hat \ lambda- \ lambda) \ to N (0, \ lambda ^ 2) $$

$$ E \ frac {\ kısmi ^ 2} {\ kısmi \ lambda ^ 2} \ log f_X (X) = - \ frac {1} {\ lambda ^ 2}. $$

#2
+10
probabilityislogic
2011-05-16 15:22:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kesin yanıt bu kadar basit (ve kesin) iken neden asimptotikleri önemsiyorsunuz? $ \ Mathrm {Est} \ pm z _ {\ alpha} \ mathrm {StdErr} $ tipi güven aralığını kullanabilmeniz için asimptotik normallik istediğinizi varsayıyorum

Olasılık dönüşümü yaparsanız $ Y_ {i} = X_ {i} ^ {2} $ ise üstel bir örnekleme dağılımınız var (@mpiktas'ın bahsettiği gibi):

$$ \ newcommand {\ Gamma} {\ mathrm {Gama }} \ newcommand {\ MLE} {\ mathrm {MLE}} \ newcommand {\ Pr} {\ mathrm {Pr}} f_ {Y_ {i}} (y_ {i}) = f_ {X_ {i}} ( \ sqrt {y_ {i}}) | \ frac {\ parsiyel \ sqrt {y_ {i}}} {\ kısmi y_ {i}} | = 2 \ lambda \ pi \ sqrt {y_ {i}} \ exp ( - \ lambda \ pi \ sqrt {y_ {i}} ^ 2) \ frac {1} {2 \ sqrt {y_ {i}}} = \ lambda \ pi \ exp (- \ lambda \ pi y_ {i}) $$

Dolayısıyla, $ D \ equiv \ {y_ {1}, \ dots, y_ {N} \} $ cinsinden ortak log-olasılık şu olur:

$$ \ log [f (D | \ lambda)] = N \ log (\ pi) + N \ log (\ lambda) - \ lambda \ pi \ sum_ {i = 1} ^ {N} y_ {i} $$

Şimdi verilerin analize girmesinin tek yolu toplam $ T_ {N} = \ sum_ {i = 1} ^ {N} y_ {i} $ (ve örnek boyutu $ N $) . Şimdi bu, $ T_ {N} \ sim \ Gamma (N, \ pi \ lambda) $ olduğunu ve ayrıca $ \ pi N ^ {- 1} T_ {N} \ sim \ Gamma olduğunu göstermek için basit bir örnekleme teorisi hesaplamasıdır. (N, N \ lambda) $. Denklemlerden $ \ lambda $ alarak bunu daha da "önemli" bir miktar yapabiliriz (bunlara $ N $ koyduğum gibi). Ve elimizde:

$$ \ lambda \ pi N ^ {- 1} T_ {N} = \ frac {\ lambda} {\ hat {\ lambda} _ {\ MLE}} \ sim \ Gamma (N, N) $$

Dolayısıyla, şimdi MLE'yi içeren ve örnekleme dağılımı $ \ lambda $ parametresinden bağımsız olan bir dağılımımız olduğuna dikkat edin. Şimdi MLE'niz $ \ frac {1} {\ pi N ^ {- 1} T_ {N}} $ 'a eşittir ve böylece $ L _ {\ alpha} $ ve $ U _ {\ alpha} $ miktarlarını yazarken aşağıdakiler tutar:

$$ \ Pr (L _ {\ alpha} < G < U _ {\ alpha}) = 1- \ alpha \; \; \; \; \; \; \; G \ sim \ Gamma (N, N) $$

Ve elimizde:

$$ \ Pr (L _ {\ alpha} < \ frac {\ lambda} {\ hat {\ lambda} _ {\ MLE}} < U _ {\ alpha}) = \ Pr (L _ {\ alpha} \ hat {\ lambda} _ {\ MLE} > \ lambda > U _ {\ alpha} \ hat {\ lambda} _ {\ MLE}) = 1- \ alpha $$

Ve bir tam $ 1- \ alpha $ güven aralığı $ \ lambda $ için.

NOT: Kullandığım Gama dağılımı "kesinlik" stilidir, dolayısıyla bir $ \ Gama (N , N) $ yoğunluk şuna benzer: $$ f _ {\ Gamma (N, N)} (g) = \ frac {N ^ {N}} {\ Gamma (N)} g ^ {N-1} \ exp ( -Ng) $$

Teşekkürler! Gerçekten harika yanıt, ancak normal bir yaklaşım kullanmam gerekiyordu. Yine de çözümünüzü tamamen anlıyorum ve katılıyorum.


Bu Soru-Cevap, otomatik olarak İngilizce dilinden çevrilmiştir.Orijinal içerik, dağıtıldığı cc by-sa 3.0 lisansı için teşekkür ettiğimiz stackexchange'ta mevcuttur.
Loading...