Soru:
Bir açının öncüsü için hangi pdf seçilmelidir?
J.Galt
2020-01-16 15:52:18 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Belirsiz bir değişkenin iki boyutta yön olduğu bir sistemim var.Bunun için bir öncül tanımlamak istersem, bu değişken için parametre uzay boyutunun dairesel olduğunu (yani, 359.9 derece ile 0.0 derece arasındaki mesafe, 359.9 derece ile 300.00 dereceden azdır) yansıtmanın zarif bir yolu var mı?

Kodlama ile (0 ve 360 sınırlarının dışındaki değerleri diğer uca yansıtan) bazı kötü çözümler düşünebilirim, ancak bu çözümün daha zarif olduğu bir alan var mı?Ve yansıtmak istersem hangi önceliği kullanmalıyım?belirli bir yön için yarı-Gauss tercihi mi?

İki boyutlu bir uzayda bir öncekini tanımlayabilir ve ardından $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ şeklinde bir sınırlama ekleyebilir misiniz (veya $ (x ^ 2 + y ^ 2-1 şeklinde keskin bir şekilde artan bir ceza)) ^ 2 $ artış mı?
Yönü umursuyor musun?Başka bir deyişle, 90 derece ile 270 derece ve 0 ile 180 derece sadece bir tercih meselesi mi, yoksa gerçekten işlevsel olarak bir fark yaratıyor mu?
Hayır, kutupsal koordinat sistemimin yönünü istediğim gibi tanımlayabildiğim sürece yön umrumda değil.
üç yanıtlar:
Dave
2020-01-17 00:48:30 UTC
view on stackexchange narkive permalink

von Mises dağılımını, yani Tikhonov dağılımını düşünmek istemeyebilirsiniz ve 1D istatistiklerinde normal dağılıma benzer bir rol oynar:

$$ p (\ theta; \ alpha, \ theta_0) = \ frac {e ^ {\ alpha \ cos (\ theta - \ theta_0)}} {2 \ piI_0 (\ alpha)} $$

$ \ alpha = 0 $ için tek tiptir, $ \ alpha >> 1 $ içindağıtım $ \ theta_0 $

seviyesinde keskin bir şekilde zirveye ulaştı

C.f.bu cevap StasK tarafından

Bu dağıtımın bir eşlenik önceliği vardır, bu da * önceki * önerinize daha uygun hale getirir.Bkz. Https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378375812003448.
Muhteşem, bu tam olarak aradığım gibi geliyor!
Ben
2020-01-16 16:52:16 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Burada yapılacak en bariz şey, değişkeni kutupsal koordinatlarda ifade etmek ve açı ile yer değiştirmeye bir ön empoze etmektir. Yani, $ (x, y) $ noktanızı $ (\ theta, r) ​​$ nerede:

$$ \ begin {align} x & = r \ cos \ theta, \\ [4pt] y & = r \ sin \ theta. \\ [4pt] \ end {align} $$

Daha sonra, $ 0 \ leqslant \ theta < 2 \ pi $ ve $ r \ geqslant 0 üzerine bir öncül empoze edebilirsiniz $ ve bu, $ (x, y) $ vektörü üzerinde örtük bir dağılım yaratacaktır. Açı hakkında bilgi yoksa, $ \ theta \ sim \ text {U} (0, 2 \ pi) $ 'dan önceki bilgilendirici olmayan tekdüze kullanabilirsiniz. açı için ve ardından yer değiştirme için uygun bir önceliği seçin $ r $ .

Yorum için teşekkürler!Benim amacım için $ r $ önemli değil - onu birliğe ayarlayabiliriz.Cevabınız, düşündüğüm seçeneğe benziyor, ancak eksik olan önemli bir özellik, $ \ theta $ 'ın' etrafını sarmaması '.
"Etrafa sarmayın" derken ne demek istediğinden emin değilim.Çemberdeki toplam açı $ 2 \ pi $ radyan olduğundan, $ \ theta $ parametresinin aralığı mümkün olan her açıyı geçer.Eğer gerçekten istiyorsan, aralığını daha yükseğe ayarlayabilirsin, çemberin etrafında birden çok kez dolaşmasına izin verebilirsin, ama bu bir şeyleri değiştirmez.
Bununla kastettiğim, örneğin gradyan tabanlı bir optimize edicim varsa, algoritmanın 360'ın ötesine geçmenin sizi sıfırdan başlayarak sınıra geri getirdiğini fark etmesi önemlidir (ve tabii ki tam tersi).Aralığı $ 0 $ ile $ 2 \ pi $ arasında uzatırsam, diyelim ki $ -18 \ pi $ ve $ 20 \ pi $, hem önceki hem de sonradan elde edilen $ p (\ theta-2 \ pi) = p (\ theta) = p (\ theta + 2 \ pi) = p (\ theta + 4 \ pi) = ... $.Başka bir deyişle, pdf'mi bir satırda değil, bir yüzükte tanımlamak istemiyorum.Mümkünse, çizgiyi bir halkaya 'kaynaştırmanın' biraz kibar olmayan yönteminden kaçınmak istiyorum.
Bu $ x $ ve $ y $ denklemlerinden otomatik olarak gerçekleşmelidir.$ \ Theta = 0 $ veya $ \ theta = 2 \ pi $ (sabit bir $ r $ için) ikamesinin aynı koordinatları verdiğini görebilirsiniz.Kutupsal koordinatları kullandığınızda bu otomatik olarak gerçekleşir.
Bu elbette doğru, ama tam olarak ulaşmak istediğim şey değil.Örneğin, bir pdf tanımlamak amacıyla, bu bilgiyi $ - \ infty <\ theta <\ infty $ parametre alanı boyutuna nasıl çevirebilirim?Örneğin, sonsuz bir Gauss karışımı yaratabilirim, her bir Gauss ortalaması $ 2 \ pi $ aralıklı, ama analitik olarak sondan çıkarım yapmak istersem, benim olasılığım da sonsuza kadar tekrarlayan olmalı ve arka taraf da öyle.$ \ Theta $ parametre uzay boyutumun dairesel olduğu bilgisini aktarmanın daha zarif bir yolu olmalı.
Korkarım bunu yapmanın size nasıl yardımcı olacağını hala anlamıyorum.Açı parametresi $ \ theta $, yalnızca [tanımlanabilir] (https://en.wikipedia.org/wiki/Identifiability) çemberin bir tam dönüşündeki bir değere kadar (ör. $ 0 \ leqslant \ theta <2 \ pi $).Dolayısıyla, daha geniş bir aralığa genişlerseniz (örneğin, tam gerçek çizgi), artık tanımlanamayan bir açı parametreniz vardır.Sanırım, yoğunluk çekirdeğini tüm gerçek çizgi üzerinde tekrarlayan uygun olmayan önceliği kullanabilirsiniz, ancak bunun analizin kendisine veya gradyan tabanlı bir iyileştiriciye nasıl herhangi bir değer kattığını görmüyorum.
Igor F.
2020-01-16 18:15:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Açı için bir öncekiniz varsa, bunu referans olarak kullanırdım. Örneğin. Önceki verileri $ 180 ^ {\ circ} $ olacak şekilde döndürür ve ölçeğindeki tüm açıları ölçerim [0 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}) ABD doları.

İki açı arasındaki mesafeyi ölçmek için zarif bir çözüm göremiyorum, $ \ phi $ ve $ \ psi $ span>. $ (\ phi - \ psi) $ ve $ (((\ phi + 180 ^ { \ circ}) \ mod 360 ^ {\ circ}) - ((\ psi + 180 ^ {\ circ}) \ mod 360 ^ {\ circ})) $ ve mutlak değeri daha küçük olanı alın .

Kullanılacak dağıtımla ilgili olarak, varyans yeterince küçükse, Gauss'u kullanmamak için bir neden göremiyorum. Kuyruklardaki küçük olasılıklar sizi rahatsız ediyorsa, $ \ alpha = ile beta dağılımını (açı aralığınızı kapsayacak şekilde doğru şekilde ölçeklenmiş) deneyebilirsiniz. \ beta \ ge 1 $ . $ \ alpha = \ beta = 1 $ için tek tip dağılımı elde edersiniz. Ancak, varyansınız büyükse, açıları oluşturan işlem $ > 360 ^ {\ circ} $ ve $ < 0 ^ {\ circ} $ ihmal edilemez bir olasılıkla, o zaman başınız belada demektir. Gauss dağıtımını desteği $ [0, 360) ^ {\ circ} $ olacak şekilde, ancak PDF'si çok kullanışlı olmayacak (sonsuz toplamı var cebirimi doğru yaptıysam bir terim olarak $ \ cosh $ s). Eğri, yükseltilmiş bir Gauss'a benzer:

wrapped Gaussian

ancak matematiksel olarak farklı.

Cevap için teşekkürler!Öncekimin bir tarafa karşı güçlü bir tercihi varsa, bu gerçekten olası bir çözüm.
Her iki açıyı da ayrı ayrı döndürmeye veya küçültmeye gerek yoktur.$ X $ ve $ y $ arasındaki iki açı arasındaki mesafe (derece cinsinden ölçülür) $ | (x-y + 180) \ operatorname {mod} 360 - 180) |. $ Bu, mutlak değer fonksiyonunun açısal versiyonudur.gerçek sayılar.Sizin "sonsuz cosh toplamınız" bir Jacobi theta işlevidir: https://stats.stackexchange.com/questions/443875 adresindeki yorum başlığına bakın.
@whuber: Rotasyon olmadan dağıtım nasıl görünürdü?Demek istediğim, PDF'nin argümanında modulo dönüşümü olabilir, ancak bu veri döndürmeye eşdeğer olmaz mı?Önemli olan, açıların $ [0, 360) $ cinsinden olmasını istiyorsak, bu aralığın dışındaki PDF $ 0 $ veya ihmal edilebilir olmalıdır.Bunu başarmanın en kolay yolu, modunun aralığın ortasında olmasıdır.
Bu formülde veri dönüşü yoktur: kelimenin tam anlamıyla açısal uzaklıktır.Modulo 360 ile çalışmak, matematiksel olarak imkansız olduğu için "bu aralığın dışında" olma ile ilgili olası sorunları çözer.
@whuber: Anlıyorum.Sorum dağıtım biçimiyle ilgiliydi ve cevabımda bahsettiğim gibi üstü kapalı olarak beta dağılımı gibi bir şey düşünüyordum.Verileri döndürmezseniz ve açı dağılımının modu 180 değilse, o zaman ya beta dağılımınız simetrik olamaz ya da argümanına modulo uygulamanız gerekir, böylece dağılımın kendisini "döndürürsünüz".Ancak Dave, von Mises dağılımını önerdiğine göre, bu sorunun geçersiz olduğunu düşünüyorum.
Dave'in cevabına bir yorumda işaret ettiğim gibi, daha uygun bir çözüm, von Mises dağılımından önceki doğal eşleniktir (ki bu kendi başına bir von Mises dağılımı değildir).Burada, önceden * değiştirilmiş bir Beta * öneriyor görünüyorsunuz.Bu, belirli kısıtlamalarla işe yarar (örneğin, her iki parametrenin de 1 $ veya daha yüksek olması beklenir).Bu, merkezinin 180 derece karşısındaki potansiyel süreksizlik nedeniyle biraz garip bir seçimdir.
@whuber Verileri döndürmenin önceden * döndürülmüş * Beta'ya eşdeğer olduğunu öne sürüyordum (yani döndürme yönüne bağlı olarak kaydırın, 360'ın üzerinde olanı kesin ve 0'da veya vv'de geçirin).Dağıtım simetrikse (beta için: $ \ alpha = \ beta $), PDF'nin kendisinde süreksizlik olmayacaktır.Türevine sahip olacaktı, ama neden sorun olsun ki?Ve evet, cevabımda açıkça $ \ alpha = \ beta \ ge 1 $ belirtiyorum.
$ \ Alpha = \ beta $ ile bile $ \ lceil \ alpha \ rceil - 1. $ sırasının bir süreksizliği vardır. $ 2 \ ge \ alpha = \ beta \ gt 1 $ için bu, örneğin türevde bir süreksizliktir.Dediğim gibi, işe yarayabilir, ancak özellikle döngüsel veriler için daha doğal çalışan diğer tekliflerle karşılaştırıldığında garip.


ⓘ
Bu Soru-Cevap, otomatik olarak İngilizce dilinden çevrilmiştir.Orijinal içerik, dağıtıldığı cc by-sa 4.0 lisansı için teşekkür ettiğimiz stackexchange'ta mevcuttur.
Loading...