Soru:
$ x_ {1} ... x_ {n} $, ortak dağıtım işlevi $ F (x) $ olan bağımsız sürekli rastgele değişkenlerdir, $ E'yi hesaplayın (F (x _ {(n)}) - F (x _ {(1) })) $
Jakoer
2014-11-09 04:05:54 UTC
view on stackexchange narkive permalink

$ x_ {1} ... x_ {n} $, ortak dağıtım işlevi $ F (x) $ olan bağımsız sürekli rastgele değişkenlerdir, sıra istatistiklerini göz önünde bulundurun $ (x _ {(1)}, ..., x_ {(n)}) $, hesapla $ E (F (x _ {(n)}) - F (x _ {(1)})) $

Bu problemle ilgili hiçbir fikrim yok, herkes yapabilir bana yardım et? Teşekkürler!

üç yanıtlar:
Alecos Papadopoulos
2014-11-09 05:40:18 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Bunu dolambaçlı yoldan yapalım (doğrudan yol, @ JohnK'nin yanıtının belirttiği şeydir).

Beklenen değeri dikkate almak için, dahil olan değişkenleri rastgele değişkenler olarak ele almamız gerekir. Bunu vurgulamak için

$$ E [F (X _ {(n)}) - F (X _ {(1)})] $$

yazıp $ F (X _ {(n)}) \ equiv Z $, $ F (X _ {(1)}) \ equiv Y $, bu yüzden hesaplamak istiyoruz

$$ E [F (X _ {(n )}) - F (X _ {(1)})] = E (Z) - E (Y) $$

$ X _ {(n)} $ 'ın kümülatif dağılım fonksiyonu

$ F_ {X _ {(n)}} (x _ {(n)}) = [F (x _ {(n)})] ^ n $ ve $ [F (X _ {(n)})] ^ n $, rastgele bir değişken olarak görülen , Olasılık İntegral Dönüşümü tarafından tek tip bir $ U (0,1) $ 'ı izler.

Yani

$ $ [F (X _ {(n)})] ^ n = U \ Rightarrow Z ^ n = U $$

Değişken değişikliği formülünü uygulama

$$ f_Z (z) = \ sol | \ frac {\ kısmi U} {\ kısmi Z} \ sağ | \ cdot f_U (u) = nz ^ {n-1} \ cdot 1 = nz ^ {n-1}, z \ in [0,1] $$

Bu nedenle

$$ E (Z) = \ int_0 ^ 1nz ^ {n-1} zdz = \ frac {n} {n + 1} \ tag {1} $$

$ X _ {(1)} $ 'ın kümülatif dağıtım işlevi

$ F_ {X _ {(1)}} (x_ { (1)}) = 1- [1-F (x _ {(1)})] ^ n $ ve $ 1- [1-F (X _ {(1)})] ^ n $, rastgele bir değişken olarak görülüyor $ U (0,1) $ 'ı takip eder.

Öyleyse

$$ 1- [1-F (X _ {(1)})] ^ n = U \ Sağa 1- [1-Y] ^ n = U $$

Uygl Değişken değişikliği formülünü ying

$$ f_Y (y) = \ left | \ frac {\ kısmi U} {\ kısmi Y} \ sağ | \ cdot f_U (u) = n (1 -y) ^ {n-1}, y \ in [0,1] $$

Bu nedenle

$$ E (Y) = \ int_0 ^ 1n (1-y ) ^ {n-1} ydy = nB (2, n) = \ frac {1} {n + 1} \ tag {2} $$

burada $ B (2, n) $ beta işlevi. Ayrıca bkz. bu türetme, çünkü aslında başka bir cevapta belirtildiği gibi, $ Y $ bir i.i.d'nin minimum sıra istatistiğidir. standart tek tip rasgele değişkenler örneği (ve $ Z $ karşılık gelen maksimumdur).

Yani

$$ E [F (X _ {(n)}) - F (X_ { (1)})] = E (Z) - E (Y) = \ frac {n} {n + 1} - \ frac {1} {n + 1} = \ frac {n-1} {n + 1 } $$

Doğrudan yol için, Olasılık İntegral Dönüşümünü incelemek çok iyi bir öneri.

JohnK
2014-11-09 04:16:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Olasılık İntegral Dönüşümünü düşünmeniz gerekir. Gösterim kolaylığı için sipariş istatistiklerini en küçükten en büyüğe Y_1, \ ldots, Y_n $

ile belirtin.

Daha sonra şunu görebilirsiniz

$$ E \ left [F \ left ( Y_n \ right) -F \ left (Y_1 \ right) \ right] $$

temelde tek tip bir $ (0,1) $ dağılımının maksimum ve minimumu arasındaki farkın beklenen değeridir .

Bunu hiç duymadım ...
@Jakoer Bu çok önemli bir sonuç ve bu tür egzersizler için ortak çözüm olduğuna inanıyorum.Bunu öğrenmek iyi bir yatırım olur.
@Alecos - Bir şeyi kaçırmazsam (ve sık sık yaparım, bu yüzden bu bir örnek olabilir), monotonluk nedeniyle, $ F_X (X _ {(1)}) = F_X (X) _ {(1)} $ (dönüştürülmüşen küçük değer, dönüştürülen değerlerin en küçüğü olmalıdır), bu değer $ U _ {(1)} $ olmalıdır.
Lauren Goodwin
2014-11-09 05:10:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Beklenti işlevini dağıtabilirsiniz. O zaman E [x_n] -E [x_1] 'e sahip olursunuz. Daha sonra maksimum ve minimum sıra istatistiğinin CDF'sini bulmanız gerekir. Oradan her birinin beklentisini bulabilirsiniz. Maksimum ve minimum sıra istatistiğinin CDF'sini bulmak için CDF ikame yöntemini kullanın ve x_1, ..., x_n'nin bağımsız olduğu gerçeğini kullanın.



Bu Soru-Cevap, otomatik olarak İngilizce dilinden çevrilmiştir.Orijinal içerik, dağıtıldığı cc by-sa 3.0 lisansı için teşekkür ettiğimiz stackexchange'ta mevcuttur.
Loading...