Bu durumlarda günlük olma olasılığı ile çalışmak, olasılıktan genellikle daha kolaydır. Minimum / maksimum günlük olabilirliğinin, olasılığın minimum / maksimum değeriyle tam olarak aynı olduğunu unutmayın. $$ \ begin {hizala *} L (p) & = \ prod_ {i = 1} ^ n p ^ {x_i} (1-p) ^ {(1-x_i)} \\ \ ell (p) & = \ log {p} \ sum_ {i = 1} ^ n x_i + \ log {(1-p)} \ sum_ {i = 1} ^ n (1-x_i) \\ \ dfrac {\ kısmi \ ell (p)} {\ kısmi p} & = \ dfrac {\ sum_ {i = 1} ^ n x_i} {p} - \ dfrac {\ sum_ {i = 1} ^ n (1 -x_i)} {1-p} \ taşan {\ text {set}} {=} 0 \\ \ sum_ {i = 1} ^ n x_i - p \ sum_ {i = 1} ^ n x_i & = p \ sum_ {i = 1} ^ n (1-x_i) \\ p& = \ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n x_i \\ \ dfrac {\ kısmi ^ 2 \ ell (p)} {\ kısmi p ^ 2} & = \ dfrac {- \ sum_ {i = 1} ^ n x_i} {p ^ 2} - \ dfrac {\ sum_ {i = 1} ^ n (1-x_i)} {(1-p) ^ 2} \ end {hizala *} $$

Sondan bir önceki çizgi bize MLE'yi (log-olabilirliğin ilk türevini (aynı zamanda skor fonksiyonu olarak da adlandırılır) sıfıra eşit karşılayan $ p $) verir.

Son denklem bize log-olabilirliğin ikinci türevini verir. $ P \ in [0,1] $ ve $ x_i \ in \ left \ {0,1 \ right \} $ olduğundan, ikinci türev negatiftir.

İkinci türevin negatif işareti, durağan noktanın bir maksimum olduğunu gösterir. Pozitif bir minimum olduğunu gösterir.

İkinci türev, size birinci türevin (gradyan) nasıl değiştiğini söyler. Negatif bir değer size eğrinin aşağı doğru eğildiğini söyler. Bu maksimumda gerçekleşir.

Gönderinizden, log-olabilirlik fonksiyonunun ilk türevine zaten sahip olduğunuzu varsayarsak \ begin {equation} \ frac {d \ \ ln f} {dp} = \ frac {\ sum_i x_i} {p} - \ frac {n- \ sum_i x_i} {1-p} \ end {denklem}

vermek \ begin {equation} \ hat {p} = \ frac {\ sum_i x_i} {n} \ end {denklem}

İkinci türev \ begin {equation} \ frac {d ^ 2 (\ ln f)} {dp ^ 2} = - \ frac {\ sum_i x_i} {p ^ 2} - \ frac {n- \ sum_i x_i} {(1-p) ^ 2} \ end {denklem}

İnceleme, ifadedeki iki kesir için hem payların hem de paydaların pozitif olduğunu doğruladığından p'nin tüm gerçek değerleri için negatif olacaktır.

Bunu, bulunan belirli $ \ hat {p} $ değeri için gösterebiliriz.

$ \ hat {p} $

\ begin {equation} \ frac {d ^ 2 (\ ln f)} {dp ^ 2} = - \ frac {\ sum_i x_i} {(\ frac {\ sum_i x_i} {n}) ^ 2} - \ frac {n- \ sum_i x_i} {(1- \ frac {\ sum_i x_i} {n}) ^ 2} \ end {denklem}

\ begin {equation} = - \ frac {\ sum_i x_i} {(\ frac {\ sum_i x_i} {n}) ^ 2} - \ frac {n- \ sum_i x_i} {(\ frac {n- \ sum_i x_i} {n}) ^ 2} \ end {denklem} \ begin {equation} = - \ frac {n ^ 2} {\ sum_i x_i} - \ frac {n ^ 2} {n- \ sum_i x_i} \ end {denklem}

Açıkça olumsuz olan.

Bunun küresel bir maksimum olduğunu biliyorsunuz, çünkü bu tek maksimumdur! Sınırlarda minimum değerler vardır.

Gradyanın her zaman negatif olduğunu göstererek $ p = 0 $ 'ın sınırdaki maksimum olduğunu kanıtlayabilirsiniz.

Benzer şekilde, gradyan her zaman pozitifse, bu $ p = 1 $ maksimum değerdir.